Резюме. В предложената експериментална задача се изисква от учениците да приложат добре познатите им от училищния курс по физика закони за равноускорително движение, въртеливо движение и закона за запазване на пълната механична енергия към движението на махало на Максуел, да конструират вариант на махало на Максуел, да извършат стандартни измервания на линейни размери и време и на базата на съставен модел, използвайки графичен метод, да определят стойността на земното ускорение.

Ключови думи: experimental task; Earth acceleration

Physics is an ever young science, Varna, October, 27 – 29, 2017

Физиката – вечно млада наука, Варна, 27 – 29 октомври 2017 г.

Увод

Конструираме вариант на махало на Максуел, показан на фиг.1 (Popov, 1996).

При движение на махалото пълната му механична енергия се запазва, тъй като пренебрегваме съпротивлението на въздуха и триенето между нишката и оста, т.е. имаме

(1) \[ \tfrac{m v^{2}}{2}+\tfrac{I \omega^{2}}{2}=m g H \]

Прилагайки връзката между линейната скорост \(\mathbf{v}\) и ъгловата скорост \(\boldsymbol{\omega}-\mathrm{v}=\boldsymbol{\omega}\) r към (1), получаваме

(2) \[ \tfrac{m v^{2}}{2}+\tfrac{I v^{2}}{2 r^{2}}=m g H \]

Движението на махалото е равноускорително без начална скорост. Следователно

(3) \[ \begin{gathered} v=g t \text { и } \quad H=\tfrac{g t^{2}}{2}= \gt g t=v=\tfrac{2 H}{t} \\ = \gt \quad v^{2}=\tfrac{4 H^{2}}{t^{2}} \end{gathered} \]

От уравнения (2) и (3) следва

(4) \[ \tfrac{m 4 H^{2}}{2 t^{2}}+\tfrac{I 4 H^{2}}{2 r^{2} t^{2}}=m g H \]

Инерционният момент на махалото (с пренебрегване на инерционния момент на оста) е

(5) \[ I=\tfrac{m a^{2}}{6} \]

От уравнения (4) и (5) следва

(6) \[ \begin{aligned} \tfrac{m 2 H^{2}}{t^{2}}+\tfrac{m \cdot a^{2} H^{2}}{3 \cdot r^{2} t^{2}}= & \left.m g H \tfrac{m 2 H^{2}}{t^{2}}+\tfrac{m \cdot a^{2} H^{2}}{3 \cdot r^{2} t^{2}}=m g H \right\rvert\,: \mathrm{mH} \\ & \cfrac{2 H}{t^{2}}+\cfrac{H a^{2}}{3 r^{2} t^{2}}=g \\ & \cfrac{1}{t^{2}}\left(2 H+\cfrac{H a^{2}}{3 r^{2}}\right)=g \\ t^{2}= & \cfrac{1}{g}\left(1+\cfrac{a^{2}}{6 r^{2}}\right) \cdot 2 H \end{aligned} \]

Но

(7) \[ a \gg r= \gt \tfrac{a^{2}}{6 r^{2}} \gg 1= \gt 1+\tfrac{a^{2}}{6 r^{2}} \approx \tfrac{a^{2}}{6 r^{2}} \]

Следователно

(8) \[ \mathrm{t}^{2}=\tfrac{1}{g}\left(\tfrac{H a^{2}}{3 r^{2}}\right) \tfrac{1}{g}\left(\tfrac{H a^{2}}{3 r^{2}}\right) \]

Както се вижда, \(\mathbf{t}^{2}\) е линейна функция на израза \(\left(\tfrac{\boldsymbol{H} \mathbf{a}^{2}}{\mathbf{3} \cdot \boldsymbol{r}^{2}}\right)\) с коефициент \(\boldsymbol{k}=\tfrac{\mathbf{1}}{\boldsymbol{g}}\).

Формулировка на задачата

Разполагате с две еднакви квадратни плочки, пробити в центъра, тънка ос, чиято маса е пренебрежима спрямо масата на плочките, шублер, конец, статив и хронометър.

Направете такива измервания, че резултатите графично да се представят чрез права линия, и от нея определете стойността на земното ускорение \(\mathrm{g} .{ }^{1)}\)

Експериментални резултати и изводи

С шублер измерваме: (1) страната на квадратната плочка: \(\mathrm{a}=10 \mathrm{~cm}\); (2) радиуса на тънката oc: \(r=2,7 \mathrm{~mm}\).

Върху конеца нанасяме отметки през равни разстояния – например 10 cm.

От двете квадратни плочки, тънката ос и конеца конструираме вариант на махало на Максуел, както е показано на фиг. 2.

Навиваме конеца около оста и пускаме махалото без начална скорост от различни височини, измервайки времето \(\mathbf{t}\) за падане на махалото. Експерименталните резултати нанасяме в таблица 1.

От така получените данни построяваме графика на зависимостта \(t^{2}=f(x)\) (фиг. 3).

От графиката определяме ъгловия коефициент: \(\mathbf{k = 0 . 1 0 3 2 1 7}\)

Тогава

\[ \begin{aligned} & g=\tfrac{1}{k}=\tfrac{1}{0.103217} \\ & g \approx 9,69 \tfrac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{2}} \end{aligned} \]

Оценка на грешката (Andreev & Lyudskanov, 1975):

Относителната грешка, с която измерваме земното ускорение \(\mathbf{g}\), е

\[ \begin{gathered} \tfrac{\Delta g}{g}=\tfrac{\Delta H}{H}+2 \tfrac{\Delta a}{a}-2 \tfrac{\Delta r}{r}-2 \tfrac{\Delta t}{t} \\ \tfrac{\Delta g}{g}=\tfrac{0.5 * 10^{-3}}{1.4}+2 \tfrac{0.5 * 10^{-3}}{0.1}-2 \tfrac{0.05 * 10^{-3}}{2.7 * 10^{-3}}-2 \tfrac{0.005}{8.05}=2 \% \\ \Delta \mathrm{~g}=0.02 * 9,69 \\ \Delta \mathrm{~g} \approx 0,19 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \end{gathered} \]

Окончателен резултат:

\[ \mathrm{g}=(9,69 \pm 0,19) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} \]

БЕЛЕЖКИ

1. Нямате право да използвате зависимостите при математичното махало; инерционният момент \(\boldsymbol{I}\) на квадратна плочка с маса \(\boldsymbol{m}\) и страна \(\boldsymbol{a}\) спрямо ос на въртене, която е перпендикулярна на страната на квадрата и преминава през центъра на тежестта му, е \(I=\tfrac{m \cdot a^{2}}{6}\), а на цилиндър с радиус \(\boldsymbol{r}\) и маса \(\boldsymbol{m}\) спрямо ос на въртене, преминаваща през центъра на тежестта му и перпендикулярна на основите му, е \(I=\tfrac{m \cdot r^{2}}{2}\).

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Andreev, M. & Lyudskanov, V. (1975). Laboratorna fizika. Sofia: Nauka i izkustwo [Андреев, М. & Людсканов, В. (1975). Лабораторна дизика. София: Наука и изкуство].

Popov, T. (1996). Reshenia na eksperimentalnite zadachi pt podbornia kryg na olimpiadata po fizika. Fizika. No. 5, 49 – 56 [Попов, Ц. (1996). Решения на експерименталните задачи от подборния кръг на олимпиадата по физика. Физика, № 5, 49 – 56.